Silogismos

SILOGISMOS

“Uno de los más hermosos descubrimientos del espíritu humano” (Leibniz)

Proposiciones
Tipos de proposiciones

Aristóteles distinguía entre proposición universal y proposición particular, cada una de las cuales a su vez puede ser, a su vez, afirmativa o negativa. Esto da lugar cuatro formas posibles de proposiciones, que identificó mediante una vocal:

Vocal	Tipo	Forma	Ejemplo
A	Universal afirmativa	Todo A es B	Todo hombre es mortal
E	Universal negativa	Ningún A es B	Ningún hombre es mortal
I	Particular afirmativa	Algún A es B	Algún hombre es mortal
O	Particular negativa	Algún A no es B	Algún hombre no es mortal

Lo universal y lo particular hacen referencia a la cantidad. La afirmación y la negación se refieren a la cualidad.

Relaciones entre las proposiciones

En la tabla anterior existen diferentes relaciones entre las cuatro proposiciones:

Contradictorias (A-O; E-I). Una es la negación de la otra. Si una es verdadera, la otra es falsa, y viceversa.
Contrarias (A-E). No pueden ser ambas verdaderas, pero pueden ser ambas falsas.
Subcontrarias (I-O). No pueden ser ambas falsas, pero sí pueden ser ambas verdaderas.
Subalternas (A-I; E-O). Si la universal es verdadera, también lo es la particular; pero no a la inversa. Y si la particular es falsa, también lo es la universal, pero no al revés.

Silogismos
Estructura de un silogismo

Un silogismo aristotélico tiene la siguiente estructura:

Consta de tres proposiciones: dos premisas (premisa mayor y premisa menor) y una conclusión.
Hay tres términos: S (sujeto de la conclusión), P (predicado de la conclusión) y M (término medio).
Cada proposición consta de dos términos.
Las dos premisas tienen un término en común M (término medio).
La conclusión consta de dos términos, que son los términos de las premisas que no son el término común (S y P).

Las cuatro figuras

Las figuras son las formas del silogismo, según la posición que el término medio ocupe en las premisas. Hay cuatro figuras:

1ª Figura	2ª Figura	3ª Figura	4ª Figura
M es P S es M S es P	P es M P es M S es P	M es P M es S S es P	P es M M es S S es P

En la primera figura el término medio hace de sujeto en la primera premisa y de predicado en la segunda, etc.

Modos silogísticos

Los modos silogísticos son las configuraciones posibles que pueden formarse con estas figuras, según que las proposiciones sean A, E, I u O. De esta forma, se puede identificar cada silogismo mediante 3 vocales, correspondientes a las dos premisas y la conclusión. Existen VR(4,3) = 43 = 64 posibilidades: variaciones con repetición de 4 elementos (los 4 tipos de proposiciones) tomados de 3 en 3 (las 3 proposiciones del silogismo). Además, como hay 4 figuras que se obtienen variando la posición del término medio, el número total de combinaciones o modos posibles es 64 × 4 = 256.

Las reglas de la validez de los silogismos son:

Al menos una premisa debe ser afirmativa
Si una premisa es negativa, la conclusión debe ser negativa.
Si una premisa es particular, la conclusión también será particular.
El término medio ha de ser universal al menos una vez.
Si un término es universal en la conclusión, también lo debe ser en su premisa correspondiente.

De los 256 modos posibles sólo 25 cumplen estos criterios, y de ellos 6 son inútiles. Por lo tanto, hay solo 19 modos válidos.

Nemotécnica de los modos válidos

Los lógicos medievales denominaban a los modos válidos mediante reglas mnemotécnicas. Cada modo válido recibe un nombre cuyas 3 vocales indican el tipo de las proposiciones utilizadas en la premisa mayor, premisa menor y conclusión, respectivamente. Los modos válidos son:

Figura 1	Figura 2	Figura 3	Figura 4
Barbara Celarent Darii Ferio	Cesare Camestres Festino Baroco	Darapti Felapton Datisi Feriso Disamis Bocardo	Bamalip Camenes Dimatis Fesapo Fresison

Por ejemplo, la primera figura:

Barbara	Celarent	Darii	Ferio
Todo M es P Todo S es M Todo S es P	Ningún M es P Todo S es M Ningún S es P	Todo M es P Algún S es M Algún S es P	Ningún M es P Algún S es M Algún S no es P

Análogamente para todas las demás figuras.

Modos perfectos e imperfectos. Reducción

Las consonantes de los nombres de los modos válidos de silogismo también tienen significado. Se relaciona con la teoría de la reducción de los modos imperfectos a modos perfectos. Aristóteles llamaba “perfectos” a los modos de la primera figura, por entender que su orden era “más natural” que en las otras, lo que hacía más intuitivo el paso a la conclusión.

Kant escribió en 1762 el artículo “La falsa sutileza de las cuatro figuras silogísticas” en la que afirmaba que la silogística debía restringirse a solo la primera figura, que consideraba la única perfecta, pues todas las demás podían reducirse a ella.

Cualquier modo imperfecto puede reducirse a otro perfecto con una conclusión equivalente.Las consonantes de las denominaciones mnemotécnicas son la clave de las operaciones de reducción.

La inicial del modo imperfecto indica que puede ser reducido al modo de la figura con la misma inicial (por ejemplo, un Fesapo puede ser reducido a un Ferio).
La presencia de la letra “m” significa que hay que cambiar el orden de las premisas en el modo imperfecto.
La letra “s” indica que la proposición denotada por la vocal que le precede debe ser convertida de forma simple (llamamos conversión simple a la permutación de los dos términos de la proposición sin cambio de cantidad ni de cualidad (válida para los asertos categóricos E, I): “ningún budista es católico” => “ningún católico es budista”; “algún intelectual es político” => “algún político es intelectual”).
La letra “p” significa la conversión accidental en análogas condiciones (la conversión accidental permite pasar, permutando términos, de cualquier universal a la particular de la misma cualidad, pero no a la inversa. Así de “toda mosca es un insecto” se infiere “algún insecto es mosca”, pero no a la inversa; e igual respecto de E).
La letra “c” tras una de las dos primeras vocales indicará que la premisa de que se trata ha de ser reemplazada por su negación en orden a facilitar la reducción per impossibile del modo (Baroco, Bocardo).

He aquí un ejemplo de reducción de Disamis a Darii tomado del libro de Manuel Garrido [2007]:

Di	Algunas serpientes son animales venenosos	Da	Todas las serpientes son reptiles
sa	Todas las serpientes son reptiles	ri	Algunos animales venenosos son serpientes
mis	Algunos reptiles son animales venenosos	i	Algunos animales venenosos son reptiles

Especificación en MENTAL
Las proposiciones aristotélicas

En las proposiciones aristotélicas aparece la triada cuantificacional “Todos - Algunos - Ninguno” que tiene su correspondencia e la triada de metaexpresiones de MENTAL: Ω - α - θ.

Vocal	Forma	MENTAL
A	Todo A es B	`⟨( x/A → x/B )⟩`
E	Ningún A es B	`( {⟨( x ← x/A ← x/B )⟩}# = 0 )`
I	Algún A es B	`( {⟨( x ← x/A ← x/B )⟩}# > 0 )`
O	Algún A no es B	`( {⟨( x ← x/A ←' x/B )⟩}# > 0 )`

Aquí podemos apreciar que la proposición A es la más sencilla.

Estas proposiciones se pueden especificar de forma parametrizada de la manera siguiente:

⟨( pA(A B) = ⟨( x/A → x/B )⟩ )⟩

⟨( pE(A B) = ( {⟨( x ← x/A ← x/B )⟩}# = 0 ) )⟩

⟨( pI(A B) = ( {⟨( x ← x/A ← x/B )⟩}# > 0 ) )⟩

⟨( pO(A B) = ( {⟨( x ← x/A ←' x/B )⟩}# > 0 ) )⟩

Otra forma de especificar las formas proposicionales es mediante conjuntos.

Llamando

⟨( {Z} = {⟨ x ← x/Z ⟩} )⟩

al conjunto de los elementos que tienen la propiedad Z, y

⟨( {Z'} ={⟨ x ←' x/Z ⟩} )⟩

al conjunto de los elementos que no tienen la propiedad Z entonces la codificación MENTAL se simplifica notablemente:

Vocal	Forma	MENTAL
A	Todo A es B	`( {A}∩{B} = {A} )`
E	Ningún A es B	`( {A}∩{B} = {} )`
I	Algún A es B	`( {A}∩{B} ≠ {} )`
O	Algún A no es B	`( {A}∩{B'} ≠ {} )`

“Algún” se expresa como intersección no nula de conjuntos.

“Todos” se puede expresar como una intersección de conjuntos que produce uno de los conjuntos, o bien puede especificarse como una relación de inclusión de un conjunto en otro. Por ejemplo, “Todo A es B” se puede especificar como A∩B.

Las relaciones entre conjuntos son de primer orden y las proposiciones silogísticas (que relacionan elementos individuales) son relaciones de segundo orden.

Relaciones entre las proposiciones

Como “Todo A es B” implica “Algún A es B”, esta propiedad la podemos expresar así:

⟨( pA(A B) → pI(A B) )⟩

Silogismos

Un modo silogístico válido, por ejemplo, “Barbara” (de la primera figura) se puede expresar así:


( Barbara(S M P) =: ⟨( pA(M P) → pA(S M) → pA(S P) )⟩ )

Análogamente para el resto de los modos silogísticos válidos. Todas estas expresiones son propiedades lógicas, es decir, teoremas y, por lo tanto, de validez universal.

Otra forma de especificar los silogismos es mediante conjuntos. Por ejemplo, el silogismo,

Silogismo	MENTAL
Algunos A son B Todos los B son C Algunos A son C	`( {A}∩{B}) ≠ {} ) ( {B}∩{C}) = {B} ) ( {A}∩{C}) ≠ {} )`

Propiedades de los cuantificadores

Un cuantificador aristotelico Q se puede considerar una relación entre dos argumentos. Por ejemplo, “Todos los hombres son mortales” se podría representar como “Todos(hombres, mortales)”. En este caso, “Todos” es un cuantificador diádico (de dos argumentos): “hombres” y “mortales”. En general, si Q es un cuantificador, y A y B son argumentos, lo podemos expresar como Q(A, B).

Los cuantificadores diádicos pueden ser simétricos o no simétricos. Los simétricos son los que cumplen la propiedad: Q(A, B) → Q(B, A). En los no-simetricos no se da esta implicación. Por ejemplo:

El cuantificador “Algunos” es simétrico: Por ejemplo: “Algunos hombres fuman” → “Algunos fumadores son hombres”.
El cuantificador “Ninguno” es también simétrico. Por ejemplo: “Ningún hombre fuma” → “Ningún fumador es hombre”.
El cuantificador “Todos” es asimétrico. Por ejemplo: “Todos los hombres son seres vivos” no implica “Todos los seres vivos son hombres”.

Otra forma de ver a los cuantificadores es considerarlos como funciones. Por ejemplo, la expresión “Todos(hombres, mortales)” se puede considerar como una función de dos argumentos (hombres y mortales) y cuyo resultado es un valor de verdad: V (verdadero) o F (falso). En este ejemplo, el resultado es V.

Ventajas de la notación MENTAL

Es descriptiva y operativa.
Las proposiciones y los silogismos se pueden parametrizar, lo que da lugar a expresiones más compactas.
En las proposiciones se puede ir más allá de la simple cuantificación (todo-ningún-algún) para especificar una expresión numérica: un número concreto, un rango, un número mayor que un número dado, etc.
Permite obtener automáticamente las conclusiones.

Adenda
Aristóteles no solo inventó la lógica, sino que realizó tres grandes hallazgos:

El silogismo, un pequeño sistema axiomático formal formado por dos premisas y una conclusión.
Las variables proposicionales.
La cuantificación. Los silogismos aristotélicos se pueden considerar como el estudio formal de 4 cuantificadores básicos, sus propiedades y relaciones: Todos, Alguno y sus contrarios: Ninguno y no-Todos.

La cuarta figura, estrictamente hablando no es aristotélica, pues fue añadida por Teofrasto, discípulo del Estagirita y director del Liceo tras su muerte. La duda está en si Teofrasto se limitó a sistematizar y ordenar la obra de su maestro, quedando así la cuarta figura como aristotélica (de modo póstumo), o por el contrario la aparición de la cuarta es original de Teofrasto.

Las reglas nemotécnicas de los modos silogísticos válidos fueron aportadas principalmente por Pedro Hispano (1205-1277) con sus Summulae Logicales, que fueron la pauta de los manuales de lógica a lo largo de toda la Edad Media hasta finales de la Ilustración. Introdujo la nomenclatura que se convirtió en canónica, basada en las vocales A, E, I y O tomadas de “AdfIrmo” y “nEgO”.

Jan Lukasiewicz, en “Elementy logiki matematycznej” (1929), reelaboró la teoría del silogismo con las técnicas de la nueva lógica. Destaca el descubrimiento de que todos los modos silogísticos se reducen a dos: Barbara y Datisi.

Bibliografía

Bochénski, Joseph M. Historia de la Lógica formal. Gredos, 1985.
Capelle, Wilhelm. Historia de la Filosofía griega. Gredos, 2011.
Ferrater Mora, José; Leblanc, Hugues. Lógica Matemática. Fondo de Cultura Económica, 1962.
Garrido, Manuel. Lógica simbólica. Tecnos, 2007.
Kneale, William y Martha. El desarrollo de la lógica. Tecnos, 1980.
Vega, Luis. Una guía de historia de la lógica. UNED, 1997.